Question

如图：三角形ABC内接于圆O，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交外接圆O于点D，连接BD，DC，且∠BCA=60°
（1）求∠BED的大小；
（2）证明：△BED为等边三角形；
（3）若∠ADC=30°，圆O的半径为r，求等边三角形BED的边长．

Answer

（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC+∠ABC的度数，再根据角平分线定义求出∠ABE+∠BAE的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解；
（2）根据在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠ADB=∠BCA=60°，再根据三角形的内角和定理求出∠DBE=60°，然后即可得证；
（3）根据∠ADC=30°可以求出∠BDC=90°，从而得到BC是圆的直径，然后求出∠ABC=30°，所以∠CBE=15°，然后求出∠DBC=45°，得到△BDC是等腰直角三角形，边长BD=BC．
【解析】
（1）∵∠BCA=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°，
∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，
∴∠ABE+∠BAE=（∠BAC+∠ABC）=×120°=60°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°；

（2）证明：∵∠BCA=60°，
∴∠ADB=∠BCA=60°，
∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°，
∴△BED为等边三角形；

（3）∵∠ADC=30°，∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵∠BCA=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=15°，
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°，
∴BD=BC•cos45°=2r•=r．
即等边△BED的边长为r．