Question

如图，已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA²+PC²=PB²+PD²．
以下请你探究：当P点分别在图②、图③中的位置时，即P在矩形ABCD的内部和外部时，线段PA²，PB²，PC²，PD²又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并证明图②（P在矩形ABCD的内部）的结论．

答：对图②的探究结论为______，对图③的探究结论为______．

Answer

图②中，过点P作EF∥AB，作MN∥BC，把矩形ABCD分成四个小矩形，然后分别表示出PA、PB、PC、PD的平方，根据平方关系即可得解；
图③中，过点P作PF∥AB交AD于点E，EF把矩形ABCD分成两个矩形，然后分别表示出PA、PB、PC、PD的平方，根据平方关系即可得解．

【解析】
图②，过点P作EF∥AB，作MN∥BC，
则四边形AMPE，四边形BFPM，四边形FCNP，四边形NDEP都是矩形，
根据勾股定理得，PA2=AE2+PE2，
PB2=BF2+PF2，
PC2=FC2+PF2，
PD2=DE2+PE2，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE2+PE2）+（FC2+PF2）=（BF2+PF2）+（DE2+PE2），
即PA2+PC2=PB2+PD2；

图③，过点P作PF∥AB交AD于点E，则四边形ABEF，四边形FCDE都是矩形，
根据勾股定理得，PA2=AE2+PE2，PB2=BF2+PF2，PC2=FC2+PF2，PD2=DE2+PE2，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE2+PE2）+（FC2+PF2）=（BF2+PF2）+（DE2+PE2），
即PA2+PC2=PB2+PD2．
故答案为：对图②的探究结论为：PA2+PC2=PB2+PD2，对图③的探究结论为：PA2+PC2=PB2+PD2．