Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=14cm，∠ABC=60°，动点M，N分别从点B，C出发，沿BC，CD方向在BC，CD上运动，点M，N运动速度分别为2cm/s和1cm/s
（1）当点M，N运动了几秒时，有MN∥BD？
（2）点M在边BC上运动时，设点M运动的时间为t（s），是否存在某一时刻t（s），使得△AMN的面积最小？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，根据AD∥BC，AD=8cm，BC=14cm，∠ABC=60°，利用三角函数求出梯形的高，再根据相似三角形的性质列出比例式，求出MN∥BD时所用时间；
（2）由于△AMN的面积=梯形的面积-△ADN的面积-△ABM的面积-△NMC的面积，分别用t表示出梯形的面积、△ADN的面积、△ABM的面积和△NMC的面积，便将△AMN的面积转化为二次函数最值问题解答．
【解析】
（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
在等腰梯形ABCD中，
∵AD=8cm，BC=14cm，
BE=CF=（BC-AD）=（14-8）=3cm，
又∵∠ABC=∠C=60°，
∴DC=AB==3×2=6．
∵MN∥BD，
∴△CMN∽△CND，
∴=，
∴，
解得t=．

（2）作NG⊥BC于G．
∵AE=DF=6×sin60°=6×=3cm，
又∵△AMN的面积=梯形的面积-△ADN的面积-△ABM的面积-△NMC的面积，
∴S△NMC=MC•NG=（14-2t）t•sin60°=（14-2t）t=-t2+t，
S△ADN=AD•（3-t•sin60°）=×8×（3-t•sin60°）=12-2t，
S△ABM=BM•AE=×2t•3=3tcm．
S梯形ABCD=3•（8+14）=33cm2．
则S△AMN=33+t2-t-12+2t-3t
=33+t2-t-12+2t-3t
=t2-t+21．
当t=-=时，二次函数取得最小值．