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如图,ABCD、CEFG是正方形,E在CD上,直线BE、DG交于H,且HE•HB=manfen5.com 满分网,BD、AF交于M,当E在线段CD(不与C、D重合)上运动时,下列四个结论:①BE⊥GD;②AF、GD所夹的锐角为45°;③GD=manfen5.com 满分网;④若BE平分∠DBC,则正方形ABCD的面积为4.其中正确的结论个数有( )
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A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①由已知条件可证得△BEC≌△DGC,∠EBC=∠CDG,因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°,所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°,即BE⊥GD,故①正确; ②若以BD为直径作圆,那么此圆必经过A、B、C、H、D五点,根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°,所以②的结论也是正确的. ③此题要通过相似三角形来解;由②的五点共圆,可得∠BAH=∠BDH,而∠ABD=∠DBG=45°,由此可判定△ABM∽△DBG,根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系; ④若BE平分∠DBC,那么H是DG的中点;易证得△ABH∽△BCE,得BD•BC=BE•BH,即BC2=BE•BH,因此只需求出BE•BH的值即可得到正方形的面积,可先求出BE、EH的比例关系,代入已知的乘积式中,即可求得BE•BH的值,由此得解. 【解析】 ①正确,证明如下: ∵BC=DC,CE=CG,∠BCE=∠DCG=90°, ∴△BEC≌△DGC,∴∠EBC=∠CDG, ∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°, ∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°,即BE⊥GD,故①正确; ②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角,因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上; 由圆周角定理知:∠DHA=∠ABD=45°,故②正确; ③由②知:A、B、C、D、H五点共圆,则∠BAH=∠BDH; 又∵∠ABD=∠DBG=45°, ∴△ABM∽△DBG,得AM:DG=AB:BD=1:,即DG=AM; 故③正确; ④过H作HN⊥CD于N,连接EG; 若BH平分∠DBG,且BH⊥DG,已知:BH垂直平分DG; 得DE=EG,H是DG中点,HN为△DCG的中位线; 设CG=x,则:HN=x,EG=DE=x,DC=BC=(+1)x; ∵HN⊥CD,BC⊥CD,∴HN∥BC, ∴∠NHB=∠EBC,∠ENH=∠ECB, ∴△BEC∽△HEN,则BE:EH=BC:HN=2+2,即EH=; ∴HE•BH=BH•=4-2,即BE•BH=4; ∵∠DBH=∠CBE,且∠BHD=∠BCE=90°, ∴△DBH∽△EBC,得:DB•BC=BE•BH=4, 即BC2=4,得:BC2=4,即正方形ABCD的面积为4; 故④正确; 因此四个结论都正确,故选D.
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