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如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,...

如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(1)直接写出点E、F的坐标;
(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
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(1)△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处,可以知道四边形ADFB是正方形,因而BF=AB=OC=2,则CF=3-2=1,因而E、F的坐标就可以求出. (2)顶点为F的坐标根据第一问可以求得是(1,2),因而抛物线的解析式可以设为y=a(x-1)2+2,以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,应分EF是腰和底边两种情况进行讨论. 当EF是腰,EF=PF时,已知E、F点的坐标可以求出EF的长,设P点的坐标是(0,n),根据勾股定理就可以求出n的值.得到P的坐标. 当EF是腰,EF=EP时,可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系,只有当EF大于E到y轴的距离,P才存在. 当EF是底边时,EP=FP,根据勾股定理就可以得到关于n的方程,就可以解得n的值. (3)作点E关于x轴的对称点E′,作点F关于y轴的对称点F′,连接E′F′,分别与x轴、y轴交于点M,N,则点M,N就是所求点.求出线段E′F′的长度,就是四边形MNFE的周长的最小值. 【解析】 (1)E(3,1);F(1,2). (2)在Rt△EBF中,∠B=90°, ∴EF=. 设点P的坐标为(0,n),其中n>0, ∵顶点F(1,2), ∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0). ①如图1, 当EF=PF时,EF2=PF2, ∴12+(n-2)2=5. 解得n1=0(舍去);n2=4. ∴P(0,4). ∴4=a(0-1)2+2. 解得a=2. ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2 ②如图2, 当EP=FP时,EP2=FP2, ∴(2-n)2+1=(1-n)2+9. 解得(舍去) ③当EF=EP时,EP=,这种情况不存在. 综上所述,符合条件的抛物线解析式是y=2(x-1)2+2. (3)存在点M,N,使得四边形MNFE的周长最小. 如图3,作点E关于x轴的对称点E′,作点F关于y轴的对称点F′, 连接E′F′,分别与x轴、y轴交于点M,N,则点M,N就是所求点. ∴E′(3,-1),F′(-1,2),NF=NF′,ME=ME′. ∴BF′=4,BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=. 又∵, ∴FN+MN+ME+EF=5+,此时四边形MNFE的周长最小值是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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