Question

某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=______cm，EF=______cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG=BF．
你的任务：
（1）填充甲同学所得结果中的数据；
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

Answer

（1）根据图形翻折变换的性质可设AE=x，则EF=8-x，利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出EF的长；
（2）根据图形翻折变换的性质可得到∠MFE=90°，由相似三角形的判定定理可得出△AEF∽△DFM，再由相似三角形的对应边成比例即可得出△FMD各边的长，进而求出其周长；
（3）①设AF=x，利用勾股定理可得出AE=4-，同理可知△AEF∽△DFM，再由相似三角形的性质可得出△FMD的周长，由正方形的性质及全等三角形的判定定理可知△AFB≌△KEG，进而可得出四边形AEGD的面积，由其面积表达式即可求出其面积的最大值．
【解析】
（1）AE=3cm，EF=5cm；
设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，42+x2=（8-x）2，x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm；

（2）如答图1，∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5
∴，，，，
∴△FMD的周长=4++=16；

（3）①乙的结果不会发生变化
理由：如答图2，设AF=x，EF=8-AE，x2+AE2=（8-AE）2，
∴AE=4-，
同上述方法可得△AEF∽△DFM，C△AEF=x+8，FD=8-x，
则，=16
②丙同学的结论还成立．
证明：如答图2，
∵B、F关于GE对称，
∴BF⊥EG于P，过G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG，
∴BF=EG．
由上述可知AE=4-，△AFB≌△KEG，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4-+x，
S=×8=0.5×8（AE+AK）
=4×（4-+4-+x）=
S=，（0＜x＜8）
当x=4，即F与AD的中点重合时S最大，S最大=40．