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在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边...

在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上,设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.
(1)当n=1时,如果a=-1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O.
①试求当n=3时a的值;
②直接写出a关于n的关系式.
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(1)根据已知得到抛物线对称轴为直线x=,代入即可求出b; (2)设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1,由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M(,2),把B、M的坐标代入得到方程组,求出a、b的值即可得到抛物线解析式; (3)①当n=3时,OC=1,BC=3,设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,过C作CD⊥OB于点D,则Rt△OCD∽Rt△OBC,得出,设OD=t,则CD=3t,根据勾股定理OD2+CD2=OC2,求出t,得出C的坐标,把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组,求出a即可; ②根据(1)、(2)①总结得到答案. 【解析】 (1)∵抛物线过矩形顶点B、C,其中C(0,1),B(n,1) ∴当n=1时,抛物线对称轴为直线x=, ∴, ∵a=-1, ∴b=1, 答:b的值是1. (2)设所求抛物线解析式为y=ax2+bx+1, 由对称性可知抛物线经过点B(2,1)和点M(,2), 则, 解得 ∴所求抛物线解析式为, 答:此时抛物线的解析式是. (3)①当n=3时,OC=1,BC=3, 设所求抛物线解析式为y=ax2+bx, 过C作CD⊥OB于点D, 则Rt△OCD∽Rt△OBC, ∴, 设OD=t,则CD=3t, ∵OD2+CD2=OC2, ∴(3t)2+t2=12, ∴, ∴C(,), 又∵B(,0), ∴把B、C坐标代入抛物线解析式,得, 解得:a=, 答:a的值是-. ②答:a关于n的关系式是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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