Question

已知AB是圆O的直径，PB切圆O于点B，∠APB的平分线分别交BC、AB于点D、E，交圆O于点F，PA交圆O于点C，∠A=60°，线段AE、BD的长是一元二次方程（k为常数）的两个根．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）求证：圆O的直径为k；
（3）求tan∠FPA．

Answer

（1）根据弦切角定理和角平分线的定义发现两个相似三角形，根据相似三角形的性质进行证明；
（2）根据根与系数的关系即可证明；
（3）根据角平分线的定义，可以把∠FPA转化为∠BPE，放到直角三角形BPE中，只需求得BP和BE的长．根据根与系数的关系得到AE•BD=2，根据三角形的外角的性质可以发现∠BED=∠BDE，得到BE=BD．再结合相似三角形的性质得到BE：AE=BD：AE=BP：AP=sin60°=．联立两个方程，即可求得BE、AE的长，即求得AB的长，根据锐角三角函数的概念进一步求得BP的长．
【解析】
（1）∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBD=∠A，又∠APE=∠BPF，
∴△PAE∽△PBD，
∴=，
即PA•BD=PB•AE．

（2）∵线段AE、BD是一元二次方程x2-kx+2=0的两根（k为常数），
根据根与系数的关系，得AE+BD=k，
∵∠BED=∠A+∠APD，
∠BDE=∠PBD+∠BPD，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE，
∴AE+BE=k，
即AB=k．

（3）∵△PAE∽△PBD，
∴BD：AE=PB：PA，
∵∠A=60°，
∴PB：PA=sin60°=，
∴BD：AE=①，
BD•AE=2②，
由①，②得，BD=，AE=2，
BP=3+2，
∴tan∠BPD=BE：BP=2-，
即tan∠FPA=2-．