Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，则CD=    ．

Answer

连接BD，根据AD∥OC，易证得OC⊥BD，根据垂径定理知：OC垂直平分BD，可得CD=CB，因此只需求出CB的长即可；
延长AD，交BC的延长线于E，则OC是△ABC的中位线；设未知数，表示出OC、AD、AE的长，然后在Rt△ABE中，表示出BE的长；最后根据切割线定理即可求出未知数的值，进而可在Rt△CBO中求出CB的长，即CD的长．
【解析】
连接BD，则∠ADB=90°；
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD；
根据垂径定理，得OC是BD的垂直平分线，即CD=BC；
延长AD交BC的延长线于E；
∵O是AB的中点，且AD∥OC；
∴OC是△ABE的中位线；
设OC=x，则AD=6-x，AE=2x，DE=3x-6；
Rt△ABE中，根据勾股定理，得：BE2=4x2-16；
由切割线定理，得BE2=ED•AE=2x（3x-6）；
∴4x2-16=2x（3x-6），解得x=2，x=4；
当x=2时，OC=OB=2，由于OC是Rt△OBC的斜边，显然x=2不合题意，舍去；
当x=4时，OC=4，OB=2；
在Rt△OBC中，CB==2．
∴CD=CB=2．