Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁．
（1）证明：△A₁AD₁≌△CC₁B；
（2）若∠ACB=30°，试问当点C₁在线段AC上的什么位置时，四边形ABC₁D₁是菱形．（直接写出答案）

Answer

（1）根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；
（2）根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．
∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1
∴AA1=CC1，∠A1=∠ACB，A1D1=CB．
∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）．（6分）

（2）【解析】
∵∠CAB=60°，
又∵四边形ABC1D1是菱形，
∴∠BC1A=60°，
∴△ABC1是等边三角形，
∴AC1=BC1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠C1BC=∠ACB=30°，
∴BC1=CC1=AC1，即C1为AC的中点，
∴当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．（9分）