Question

北京时间2011年3月11日13时46分，日本发生9.0级特大地震，某日资公司为筹集善款，对其日本原产品进行大幅度销售，有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

	A型利润	B型利润
甲店	200	170
乙店	160	150

（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？

Answer

（1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润×相应件数之和；根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值；
（2）让（1）中的代数式≥17560，结合（1）中自变量的取值可得相应的分配方案；
（3）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得a的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据a的不同取值得到利润的函数应得到的最大值的方案即可．
【解析】
依题意，甲店B型产品有（70-x）件，乙店A型有（40-x）件，B型有（x-10）件，则
（1）W=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=20x+16800．
由解得10≤x≤40．
（2）由W=20x+16800≥17560，∴x≥38．∴38≤x≤40，x=38，39，40．∴有三种不同的分配方案．
①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件．
②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件．
③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．
（3）依题意：W=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=（20-a）x+16800．
①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大．
②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样．
③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．