Question

如图所示，等腰直角△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC、BC上，以BC为直径的半圆E与以DA为半径的半圆D相外切，设BC=6，图中阴影部分的面积为    ．

Answer

设⊙D的与AC的交点为F，与AB的交点为G，⊙E与AB的交点为H；首先连接DG、EH，由于△ABC是等腰Rt△，易证得△ADG和△BEH也是等腰Rt△，即∠ADG=∠FDG=90°，此时发现弓形FG和弓形AG正好完全相等，同理可证弓形BH和弓形CH的面积相等；所以图中阴影部分的面积=△ABC的面积-△AFG的面积-△BHC的面积．而AD的长，可在△CDE中，由勾股定理求得，由此得解．
【解析】
如图；设AD=x，则DC=6-x，DE=3+x；
Rt△CDE中，由勾股定理，得：
DC2+CE2=DE2，即（6-x）2+32=（x+3）2；
解得x=2，即AD=DG=2．
∵△ABC是等腰Rt△，
∴∠A=∠B=45°；
故△ADG、△BEH也是等腰Rt△；
∴∠ADG=∠FDG=∠HEC=∠HEB=90°；
∴S弓形AG=S弓形GF，S弓形CH=S弓形BH；
∴S阴影=S△ABC-S△AGF-S△BHC
=×6×6-×6×3-×4×2
=5．