Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，点E从A点出发以每秒2个单位长的速度向B点运动，点F从C点同时出发，以每秒1个单位长的速度向D点运动．设运动时间为t秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点F作FH⊥AB于点P，连接BD交FP于点O，连接OE．
（1）底边AB=______；
（2）设△BOE的面积为S_△BOE；
①求S_△BOE与时间t的函数关系式；
②当t为何值时，S_△BOE=S_梯形ABCD．
（3）是否存在点E，使得△BOE为直角三角形；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻，使得OE∥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点C作CH⊥AB于H，利用已知条件和勾股定理即可求出AB的值；
（2）①经过t秒时，AE=2t，CF=t，则BE=6-2t，DF=3-t，证明△ODF∽△DBA，利用相似的性质可求出OF的长，进而求出OP的长，再利用三角形面积公式即可求出△BOE的面积；②利用已知条件求出梯形ABCD的面积，有①可得关于t的一元二次方程，求出符合题意的t值即可；
（3）设经过t秒时，△BOE为直角三角形，在分当∠BOE=90°和∠OEB=90°时讨论求出符合题意的t值即可；
（4）当OE∥BC时易证△EOB∽△CBD和△OBP∽△DBA，利用相似的性质：对应边的比值相等即可求出符合题意的t值．
【解析】
（1）过点C作CH⊥AB于H，
∵∠A=90°，AD=4，CD=3，BC=5，
∴CH=4，CD=AH=3，
∴BH==3，
∴AB=3+3=6，
故答案为6；

（2）①经过t秒时，AE=2t，CF=t，则BE=6-2t，DF=3-t，
∵AB∥DC，
∴∠ODF=∠DBA，
∵FP⊥AB，
∴FP⊥CD，
∴∠DFO=∠A=90°，
∴△ODF∽△DBA，
∴=．
即=，OF=2-t．
∴OP=FP-OF=4-（2-t）=2+t，
∴S△BOE=BE•OP=（6-2t）（2+t）=-t2+6；
②∵S梯形ABCD=（CD+AB）•AD=（3+6）×4=18．
  S△BOE=S梯形ABCD，即-t2+6=×18，
解得t=或t=；

（3）存在．
设经过t秒时，△BOE为直角三角形．
①若∠BOE=90°，则AE＜AP，
∵AP=DF，
∴2t＜3-t．解得t＜1，
∴EP=AP-AE=3-t-2t=3-3t，BP=AB-AP=6-（3-t）=3+t．
∵∠EOP+∠BOP=90°，∠OBP+∠BOP=90°，
∴∠EOP=∠OBP，
∵∠OPE=∠BPO=90°，
∴△EOP∽△OBP，
∴=，OP2=BP•EP．
∴（2+t）2=（3+t）（3-3t），
解得t=；
②若∠OEB=90°，此时OE与OP重合，
∴AE=AP=DF，
∴2t=3-t，
∴t=1；

（4）存在，t=．
当OE∥BC时，易证△EOB∽△CBD，
∴=，
易证△OBP∽△DBA，
∴=，
∴=，=，
解得t=．