Question

如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．

Answer

等腰三角形三线合一，可得出∠AEC和∠AFC都是直角，这样用角的等量代换可证明∠FAC和∠PCA相等，可证明AQ∥PC，同理AP∥CQ，所以可先证明是平行四边形，然后根据邻边相等证明是菱形．
证明：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，
∴∠AFC=90°，
∴∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠ACF+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠CAF，
∴PC∥AQ，
同理：AP∥QC，
∴四边形APCQ是平行四边形．
∵AF∥CP，AE∥CQ，
∴∠EPC=∠PAF=∠FQC，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴CE=BE=CB（等腰三角三线合一），
∵AF是CD边上的中线，
∴CF=CD，
∵CB=DC，
∴CE=CF，
∵PC⊥CD，QC⊥BC，
∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°，
∴∠PCE=∠QCF，
∴△PEC≌△QFC（AAS），
∴PC=QC，
∴四边形APCQ是菱形．