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在正方形ABCD中,点E为BC边的中点,点B′与点B关于AE对称,B′B与AE交...

在正方形ABCD中,点E为BC边的中点,点B′与点B关于AE对称,B′B与AE交于点F,连接AB′,DB′,FC.下列结论:①AB′=AD;②△FCB′为等腰直角三角形;③∠ADB′=75°;④∠CB′D=135°.其中正确的是( )
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A.①②
B.①②④
C.③④
D.①②③④
①根据轴对称图形的性质,可知△ABF与△AB′F关于AE对称,即得AB′=AD; ②连接EB′,根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质,求出∠BB′C为直角三角形; ③假设∠ADB′=75°成立,则可计算出∠AB′B=60°,推知△ABB′为等边三角形,B′B=AB=BC,与B′B<BC矛盾; ④根据∠ABB′=∠AB′B,∠AB′D=∠ADB′,结合周角定义,求出∠DB′C的度数. 【解析】 ①∵点B′与点B关于AE对称, ∴△ABF与△AB′F关于AE对称, ∴AB=AB′, ∵AB=AD, ∴AB′=AD.故本选项正确; ②如图,连接EB′. 则BE=B′E=EC, ∠FBE=∠FB′E, ∠EB′C=∠ECB′. 则∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°, 即△BB′C为直角三角形. ∵FE为△BCB′的中位线, ∴B′C=2FE, ∵△B′EF∽△AB′F, ∴=, 即==, 故FB′=2FE. ∴B′C=FB′. ∴△FCB′为等腰直角三角形. 故本选项正确. ③假设∠ADB′=75°成立, 则∠AB′D=75°, ∠ABB′=∠AB′B=360°-75°-75°-90°=60°, ∴△ABB′为等边三角形, 故B′B=AB=BC,与B′B<BC矛盾, 故本选项错误. ④设∠ABB′=∠AB′B=x度, ∠AB′D=∠ADB′=y度, 则在四边形ABB′D中,2x+2y+90°=360°, 即x+y=135度. 又∵∠FB′C=90°, ∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°. 故本选项正确. 故选B.
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考点分析:
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