Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC面积的比值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理，可以求得∠ABC=∠ACB=72°，根据角平分线定义，可得∠BCD=∠ACD=36°；根据两角对应相等，得△DBC∽△BCA，则相似三角形的面积比是相似比的平方．设AB=x，BC=y，根据等腰三角形的性质，则AD=CD=BC=y，则BD=x-y．根据相似三角形的性质求得y：x的值即可．
【解析】
设AB=x，BC=y．
∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵CD是角平分线，
∴∠BCD=∠ACD=36°．
∴AD=CD=BC=y，
∴BD=x-y．
∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠ACB=72°，
∴△DBC∽△ABC．
∴．
即，
x2-xy-y2=0，
x=y（负值舍去）．
则=．
∴△DBC的面积与△ABC面积的比值是=．
故选C．