Question

如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（-3，-4），线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
（1）直接写出点A的坐标，并求出经过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积．

Answer

（1）首先求出OB的长，由旋转的性质知OB=OA，即可得到A点的坐标，然后用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）由于O、A关于抛物线的对称轴对称，若连接AB，则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点，可先求出直线AB的解析式，联立抛物线对称轴方程即可求得C点的坐标；
（3）可过P作y轴的平行线，交直线AB于M；可设出P点的横坐标（根据P点的位置可确定其横坐标的取值范围），根据抛物线和直线AB的解析式，可表示出P、M的纵坐标，即可得到PM的长，以PM为底，A、B纵坐标差的绝对值为高即可得到△PAB的面积，从而得出关于△PAB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求得△PAB的最大面积及对应的P点坐标．
【解析】
（1）点A的坐标（5，0），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∴，
∴，，
∴；

（2）由于A、O关于抛物线的对称轴对称，连接AB，
则AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点；
易求得直线AB的解析式为：y=x-，
抛物线的对称轴为=，
当x=时，y=×-=-；
∴点C的坐标为（，-）；

（3）过P作直线PM∥y轴，交AB于M，
设P（x，-x2+x），则M（x，x-），
∴PM=-x2+x-（x-）=-x2+x+，
∴△PAB的面积：S=S△PAM+S△PBM
=PM•（5-）+PM•（+3）
=×（-x2+x+）×（5+3）
=-x2+x+10
=-（x-1）2+，
所以当x=1，即P（1，）时，△PAB的面积最大，且最大值为．