Question

已知 A（-4，0）B （0，4）以A点为位似中心将OB向右侧放大，得到点B的对应点C，且．
（1）求C点的坐标；
（2）若抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴的正半轴上，求抛物线的解析式．
（3）点P在（2）中的抛物线上，且到直线AB的距离为，求点P的坐标．

Answer

（1）设点C的坐标为（x，y），然后根据位似比列式求出a、b的值，即可得解；
（2）根据点B、C的坐标设出抛物线的解析式，再根据顶点落在x轴的正半轴上可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以△=b2-4ac=0，且x=-＞0，从而求出抛物线的解析式；
（3）过点O作BC的垂线交BC于点N，根据点A、B的坐标可知△AOB是等腰直角三角形，然后求出ON的长度，设点P所在的直线ME交y轴于点E，交BC的垂线于点M，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，然后求出直线ME的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标，同理当点E在点B的下方时，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解得到点P的坐标，从而得解．
【解析】
（1）设点C的坐标为（x，y），
∵A（-4，0）、B（0，4），=，
∴===，
解得x=5，y=9，
∴点C（5，9）；

（2）∵B（0，4），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+4，
∵C（5，9），
∴25a+5b+4=9，
∴b=1-5a，
∴抛物线解析式为y=ax2+（1-5a）x+4，
∵△=b2-4ac=（1-5a）2-16a=0，
∴25a2-26a+1=0，
解得a1=1，a2=，
∵x=-=-＞0，
解得a＜0或a＞，
∴a=1，
∴y=x2-4x+4；

（3）如图，过点O作BC的垂线交BC于点N，设点P所在的直线ME交y轴于点E，交BC的垂线于点M，
则MN=3，
∵A（-4，0）、B（0，4），
∴AO=4，OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴ON=AO•sin45°=4×=2，
∴OM=ON+MN=2+3=5，
∴===，
∴OE=OB=×4=10，
∴点E的坐标为（0，10），
∴直线ME的解析式为y=x+10
由，
解得，，
同理：点F为（0，-2），
由，
解得，，
∴点P的坐标为（-1，9）或（6，16）或（2，0）或（3，1）．