Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，AC交BG于点H，连接OG，下列结论：①OG∥AD；②△CHE为等腰三角形；③BH=GH；④tan∠F=2；⑤S_△BCE：S_△BDE=其中正确的结论有（ ）

A．①②⑤
B．①②③
C．②③④
D．②④⑤

Answer

正方形的四个边相等，四个角都是直角，根据这可以证明三角形全等，进而证明相似，得到解，也可以用正方形的性质，求角的度数边的长，进而求出三角函数和面积从而得到解．
【解析】
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠BEC=∠DEG，
∴∠DGB=∠BCE=90°，
∴BG垂直且平分DF，
∵O是BD的中点，
∴OG∥BF，
∴OG∥AD．
所以①选项正确．
∵正方形ABCD，
∴∠DBC=45°，∠BOC=90°，∠BCD=90°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠OBH=∠CBH=22.5°，
∴∠EHC=∠OHB=180°-90°-22.5°=67.5°，
∠BEC=180°-90°-22.5°=67.5°=∠EHC，
∴CH=CE，∴②正确；
∵OB≠BC，
∴OH≠CH，
∵OG∥BC，
∴BH≠GH，∴③错误；
∵tan∠F=，CD≠2CF，
∴tan∠F≠2，∴④错误；
∵∠DBH=∠HBC，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴=cos45°=，
∴==，
∵△BDE和△BCE的高都是BC，
∴S△BCE：S△BDE=（BC×CE）：（BC×DE）=1：，∴⑤正确；
故选A．