Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6cm，∠OMN=30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm²）．
（1）求等边△ABC的边长；
（2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据，∠OMN=30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．
（2）根据OM=6cm，∠OMN=30°，利用勾股定理求出MN和ON的长，再根据△OMN∽△BEM，利用其对应边成比例求出BE、PE，然后利用三角形面积公式即可求得答案．
（3）△PEF为等腰三角形，求出t的值，如果在0＜t＜3这个范围内就存在，否则就不存在．
【解析】
（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM=6cm，∠OMN=30°，
∴∠ONM=60°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠AOC=60°，∠NOA=30°
∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，
∴OA=OM=×6=3．

（2）∵OM=6cm，∠OMN=30°，
∴ON=2，MN=4．
∵△OMN∽△BEM，
∴=，
∴=，
BE=，
当点P在BE上时，
PE=BE-PB=-2t=，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=AE=（3-BE）=（3-）=t，
∴△PEF的面积S=×EF×PE=×t×，
即S==-（0＜t＜）；
当点P在AE上时，PE=PB-BE=2t-=，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=AE=（3-BE）=（3-）=t，
∴△PEF的面积S=×EF×PE=×t×，
即S==（＜t≤3）；

（3）存在，有三种情况：
①当点P在线段AB上时，
点P在AB上运动的时间为s，
∵△PEF为等腰三角形，∠PEF=90°，
∴PE=EF，
∵∠A=60°，∠AFE=30°，
∴EF=AE=（3-BE）=（3-）=t，
∴=t或=t，
解得t=或＞（故舍去），
②当点P在AF上时，
若PE=PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，
此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，
∴PF=AP=2t-3，
∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，
∴0＜t＜3，
在直角三角形中，cos30°===，
解得：t=2，
若FE=FP，
AF===t，
则t-（2t-3）=t，
解得：t=12-6；
③当PE=EF，P在AE上时无解，
综上，存在t值为或12-6或2时，△PEF为等腰三角形．