Question

2010年12月，杭州连降大雪，蔬菜价格飞涨，杭州市政府紧急组织从山东装运20辆汽车的甲、乙、丙三种蔬菜共120吨来杭销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题．

蔬菜品种	甲	乙	丙
每辆汽车运载量（吨）	8	6	5
每吨蔬菜获利（百元）	12	16	10

（1）设装运甲种蔬菜的车辆数为x，装运乙种蔬菜的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．
（2）如果装运每种蔬菜的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．

Answer

（1）因为组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共120吨来杭州销售，设装运甲种蔬菜的车辆数为x，装运乙种蔬菜的车辆数为y，则装运丙种蔬菜的车辆数为（20-x-y），且8x+6y+5（20-x-y）=120，整理即得y与x之间的函数关系式．
（2）因为装运每种蔬菜的辆都不少于3辆，所以x≥3，y≥3，20-x-y≥3，结合（1）的答案，就可得到关于x的不等式组，又因x是正整数，从而可求x的取值，进而确定方案．
（3）可设此次销售利润为W百元，由表格可得W=8x•12+6（20-3x）•16+5[20-x-（20-3x）]•10=-92x+1920，根据y随x的变化规律，结合（2）中所求，就可确定使利润最大的方案．
【解析】
（1）8x+6y+5（20-x-y）=120，
∴y=20-3x，
∴y与x之间的函数关系式为y=20-3x；

（2）由x≥3，y=20-3x≥3，20-x-（20-3x）≥3，
可得3≤x≤5，
又∵x为正整数∴x=3，4，5，
故车辆的安排有三种方案，即：
方案一：甲种3辆    乙种11辆      丙种6辆
方案二：甲种4辆    乙种8辆       丙种8辆
方案三：甲种5辆    乙种5辆       丙种10辆；

（3）设此次销售利润为W元，
W=8x•12+6（20-3x）•16+5[20-x-（20-3x）]•10=-92x+1920
∵W随x的增大而减小  又x=3，4，5
∴当x=3时，W最大=1644（百元）=16.44万元
答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元．