Question

如图已知抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，并与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．
（1）求出y=mx²+nx+p的解析式，试猜想出一般形式y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明）；
（2）若AB中点是C，求sin∠CMB；
（3）如果一次函数y=kx+b过点M，且于y=mx²+nx+p相交于另一点N（i，j），如果i≠j，且i²-i+z=0和j²-j+z=0，求k的值．

Answer

（1）抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称，知关于y轴对称x变为-x，y轴值不变，所以易得y=x2+6（-x）+5，即对称后的表达式为y=ax2+bx+c，关于y轴对称只要把x变为-x就可以了；
（2）作辅助线过0作OE⊥MB，把∠CMB转化到直角三角形中计算，就行了；
（3）根据已知关系解方程组得b值，最后待定系数求出k的值．
【解析】
（1）抛物线的解析式是y=x2-6x+5，y=ax2+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式为：y=ax2-bx+c．

（2）当y=0时x2-6x+5=0x1=1x2=5所以A（1，0）B（5，0）C是AB的中点所以C（3，0）又因为OB=OM=5⇒△OMB是等腰△过0作OE⊥MB⇒OE∥CD因为∠EOB=45度，所以∠DCB=45度⇒CD=Rt△OMC中OM=5，OC=3所以MC==，
∴sin．

（3），即，
又因为N在y=kx+b上
又∵j=ki+bM在y=kx+b上，
∴b=5，
∴j=ki+5⇒1-i=ki+5⇒k=-1-，
又∵N在y=x2-6x+5上，
所以，
即，即．