Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC=x，点P到AB的距离为y．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）试确定Rt△ABC内切圆I的半径，并探求x为何值时，直线PQ与这个内切圆I相切？
（3）试判断以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能否相切？若能，请求出相应的x的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）求出BC，证△AQP∽△ACB，得到=，代入求出即可；
（2）求出正方形FIEC，推出IF=IE=CF=CE，求出半径，证四边形INQM是正方形，推出PE=PM，代入求出即可；
（3）根据相切两圆的性质求出PI、PE、IE，根据勾股定理得到方程，求出方程的解即可．
【解析】
（1）在△ABC中AB=5，AC=4，由勾股定理得：BC=3，
∵∠C=90°，PQ⊥AB，
∴∠C=∠PQA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AQP∽△ACB，
∴=，
即=，
解得：y=-x+，
答：y与x的函数关系式是y=-x+．

（2）∵圆I是△ABC的内切圆，
∴BN=BF，CF=CE，AE=AN，∠IFC=∠IEC=∠C=90°，IE=IF，
∴四边形FIEC是正方形，
∴IF=IE=CF=CE，
∴3-IE+4-IE=5，
解得：IE=1，
∵∠INQ=∠IMQ=∠NQM=90°，IM=IN，
∴四边形INQM是正方形，
∴IN=MQ=IE=CE，
∵PE=PM，
∴PQ=PC=x=y，
即x=-x+，
∴x=，
答：Rt△ABC内切圆I的半径是1，x为时，直线PQ与这个内切圆I相切．

（3）以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能相切．
理由是：连接PI过两圆的切点，
当两圆外切时，
PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=1+y，
由勾股定理得：12+（x-1）2=
解得：x=，
当两圆内切时，
PQ=y，PE=x-1，IE=1，PI=y-1，
由勾股定理得：12+（x-1）2=（-x+-1）2，
解得：x=（都为负数，舍去）．
答：以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能外切，相应的x的值是．