Question

如图，点A在x正半轴上，点B在y正半轴上．tan∠OAB=2．抛物线y=x²+mx+2的顶点为D，且经过A、B两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）将△OAB绕点A旋转90°后，点B落在点C处．将上述抛物线沿y轴上下平移后过C点．写出点C坐标及平移后的抛物线解析式；
（3）设（2）中平移后抛物线交y轴于B₁，顶点为D₁．点P在平移后的图象上，且S_△PBB1=2S_△PDD1，求点P坐标．

Answer

（1）二次函数y=x2+mx+2的图象经过点B，可得B点坐标为（0，2），再根据tan∠OAB=2求出A点坐标，将A代入解析式即可求得函数解析式；
（2）根据旋转不变性分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况可求得C点坐标，由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，设出解析式，代入C点作标即可求解；
（3）由于P点位置不固定，由图可知要分①当点P在对称轴的右侧时，②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，③当点P在y轴的左侧时，三种情况讨论．
【解析】
（1）由题意，点B的坐标为（0，2），
∴OB=2，
∵tan∠OAB=2，即=2．
∴OA=1．
∴点A的坐标为（1，0），
又∵二次函数y=x2+mx+2的图象过点A，
∴0=12+m+2．
解得m=-3，
∴所求二次函数的解析式为y=x2-3x+2；

（2）如图，作CE⊥x轴于E，

由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE=OA=1，AE=OB=2，
①顺时针旋转90°，则点C的坐标为（3，1），
由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，
设出解析式为y=x2-3x+c，代入C点作标得1=9-9+c，
解得c=1，
所求二次函数解析式为y=x2-3x+1，
②逆时针旋转90°，则点C的坐标为（-1，-1），
由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，
设出解析式为y=x2-3x+c，代入C点作标得1+3+c=-1，
解得c=-5，
所求二次函数解析式为y=x2-3x-5；

（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，
那么对称轴直线x=不变，且BB1=DD1=1，
∵点P在平移后所得二次函数图象上，
设点P的坐标为（x，x2-3x+1）．
在△PBB1和△PDD1中，
∵S△PBB1=2S△PDD1，
∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍．
①当点P在对称轴的右侧时，x=2（x-），得x=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，x=2（-x），得x=1，
∴点P的坐标为（1，-1）；
③当点P在y轴的左侧时，x＜0，又-x=2（-x），
得x=3＞0（舍去），
∴所求点P的坐标为（3，1）或（1，-1）；
设点P的坐标为（x，x2-3x-5），同理可得P的坐标为（3，-5）；（1，-7），
综上可知：P的坐标为：（3，1）；（3，-5）；（1，-1）；（1，-7）．