Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y₁=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当∠ABC=45°时，求m的值；
（3）已知一次函数y₂=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象于N．若只有当-2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

Answer

（1）令y=0，则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标；
（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得；
（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．
【解析】
（1）∵点A、B是二次函数y=mx2+（m-3）x-3（m＞0）的图象与x轴的交点，
∴令y=0，即mx2+（m-3）x-3=0
解得x1=-1，
又∵点A在点B左侧且m＞0
∴点A的坐标为（-1，0）

（2）由（1）可知点B的坐标为
∵二次函数的图象与y轴交于点C
∴点C的坐标为（0，-3）
∵∠ABC=45°
∴OB=，
∴m=1

（3）由（2）得，二次函数解析式为y1=x2-2x-3，
∵只有当-2＜n＜2时，点M位于点N的上方，
∴当-2＜n＜2时，y1＜y2，
即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，
由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3），
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中，
得，解得：
∴一次函数解析式为y=-2x+1．