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阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
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小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于______
根据平移可知,△ADC≌△ECD,且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等,即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积. (1)分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P,得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形. (2)由平移的性质可得对应线段平行且相等,对应角相等.结合图形知以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的. 【解析】 △BDE的面积等于1. (1)如图.以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP. (2)平移AF到PE,可得AF∥PE,AF=PE, ∴四边形AFEP为平行四边形, ∴AE与PF互相平分,即M为PF的中点, 又∵AP∥FN,F为AB的中点, ∴N为PC的中点, ∴E为△PFC各边中线的交点, ∴△PEC的面积为△PFC面积的 连接DE,可知DE与PE在一条直线上 ∴△EDC的面积是△ABC面积的 所以△PFC的面积是1××3= ∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于.
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考点分析:
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