Question

如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A₁BC₁．A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC，BC于点D，F．
（1）试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（2）求ED的长．

Answer

（1）先根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理求出∠A1=∠A=30°，再根据旋转角为30°得到∠ABA1=30°，从而得到∠A1=∠ABA1，然后根据内错角相等，两直线平行可得A1C1∥AB，同理AC∥BC1，最后根据平行四边形的定义以及菱形的定义即可证明；
（2）过点E作EG⊥AB于点G，根据等腰三角形三线合一的性质可得AG=AB=，再利用锐角三角形函数求出AE的长度，然后根据ED=AD-AE代入数据进行计算即可求解．
【解析】
（1）四边形BC1DA是菱形．理由如下：
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠A=（180°-120°）=30°，
由题意可知∠A1=∠A=30°，
∵旋转角为30°
∴∠ABA1=30，
∴∠A1=∠ABA1，
∴A1C1∥AB，
同理AC∥BC1，
∴四边形BC1DA是平行四边形，
∵AB=BC1，
∴四边形BC1DA是菱形；

（2）过点E作EG⊥AB于点G，
∵∠A=∠ABE=30°，AB=1，
∴AG=GB=，
∵cos∠A=，AE===，
∴ED=AD-AE=1-．