Question

在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作弧，F为上的一动点，过点F作⊙B的切线交AD于点P，交DC于点Q．
（1）求证△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半；
（2）分别延长PQ、BC，延长线相交于点M，设AP长为x，BM长为y，试求出y与x之间的函数关系式．

Answer

（1）根据正方形性质得出AB⊥AD，BC⊥CD，推出DA和CB都是圆B的切线，根据切线长定理A得出PA=PF，QF=CQ，代入求出即可；
（2）在△DPQ中根据勾股定理求出CQ的值，求出DQ的值，根据平行线得出三角形相似，根据相似得出=，代入求出即可．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°，
即AB=BC=CD=AD，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴DA和CD都是圆B的切线，
∵PQ切圆B于F，
∴AP=PF，QF=CQ，
∴△DPQ的周长是DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD，
∵正方形ABCD的周长是AD+AB+CD+BC=2AD+2CD，
∴△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半．

（2）【解析】
在Rt△PDQ中，由勾股定理得：DP2+DQ2=PQ2，
∴（4-x）2+（4-CQ）2=（X+CQ）2，
解得：CQ=，
DQ=4-=，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△PDQ∽△MCQ，
∴=，
即=，
∴y=+x，
y与x之间的函数关系式是y=+x．