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已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A、B不重合). (1)如图①,现...

已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A、B不重合).  
(1)如图①,现将△PBC沿PC翻折得到△PEC;再在AD上取一点F,将△PAF沿PF翻折得到△PGF,并使得射线PE、PG重合,试问FG与CE的位置关系如何,请说明理由;
(2)在(1)中,如图②,连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的大小关系,并说明你的理由;
(3)如图③,分别在AD、BC上取点F、C′,使得∠APF=∠BPC′,与(1)中的操作相类似,即将△PAF沿PF翻折得到△PFG,并将△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′,连接FC′,取FC′的中点H,连接GH、EH,试问(2)中的结论还成立吗?请说明理由.manfen5.com 满分网
(1)根据矩形的性质以及轴对称的性质可以得到∠G=∠GEC=90°,根据内错角相等,即可证明两条直线平行; (2)延长GH交CE于点M,结合(1)中的结论证明△GFH≌△MHC,再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明结论; (3)取PF的中点M,PC'的中点N,根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理得到平行四边形,这几个平行四边形的性质证明要证明的两条线段所在的两个三角形全等,从而证明结论. 【解析】 (1)FG∥CE,在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,由题意得 ∠G=∠A=90°,∠PEC=∠B=90° ∴∠GEC=90° ∴∠G=∠GEC ∴FG∥CE. (2)GH=EH. 延长GH交CE于点M,由(1)得,FG∥CE ∴∠GFH=∠MCH ∵H为CF的中点 ∴FH=CH 又∵∠GHF=∠MHC ∴△GFH≌△MHC ∴GH=HM=, ∵∠GEC=90° ∴EH= ∴GH=EH.   (3)(2)中的结论还成立. 取PF的中点M,PC'的中点N,连接GM,EN,HM,HN, ∵∠FGP=90°,M为PF的中点 ∴,,HM∥PC' ∴GM=PM ∴∠GPF=∠MGP ∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF ∵H为FC'的中点,M为PF的中点 ∴ 同理,,HN∥PF,∠ENC'=2∠EPC' ∴GM=HN,HM=EN ∵∠GPF=∠FPA,∠EPC'=∠BPC' 又∵∠BPC'=∠APF, ∴∠GPF=∠EPC' ∴∠GMF=∠ENC', ∵HM∥PC',HN∥PF ∴四边形HMPN为平行四边形 ∴∠HMF=∠HNC' ∴∠GMH=∠HNE ∵GM=HN,HM=EN ∴△GMH≌△HNE ∴GH=HE.
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考点分析:
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(1)分别求出直线BB′和抛物线所表示的函数解析式;
(2)将△MON沿直线MN翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在抛物线上,说明理由;
(3)将抛物线进行平移(沿上下或左右方向),使它经过点C′,求此时抛物线的解析式.

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一、阅读理【解析】

在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c;
(1)若∠C为直角,则a2+b2=c2
(2)若∠C为锐角,则a2+b2与c2的关系为:a2+b2>c2
证明:如图过A作AD⊥BC于D,则BD=BC-CD=a-CD
在△ABD中:AD2=AB2-BD2
在△ACD中:AD2=AC2-CD2
AB2-BD2=AC2-CD2
c2-(a-CD)2=b2-CD2
∴a2+b2-c2=2a•CD
∵a>0,CD>0
∴a2+b2-c2>0,所以:a2+b2>c2
(3)若∠C为钝角,试推导a2+b2与c2的关系.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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