Question

如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是该直线与双曲线y=的一个交点，过点C作CD垂直y轴，垂足为D，且S_△BCD=1．
（1）求双曲线的解析式．
（2）设直线与双曲线的另一个交点为E，求点E的坐标．

Answer

（1）先根据△BCD的面积是1求出BD的值，进而得出B、D两点的坐标求出a的值，再把点C的坐标代入双曲线y=的即可求出双曲线的解析式；
（2）把C点坐标代入直线y=kx+2即可得出k的值，进而得出直线AB的解析式，在解直线与双曲线解析式组成的方程组即可求出点E的坐标．
【解析】
（1）∵△BCD的面积为1，
∴即BD=2，
又∵点B是直线y=kx+2与y轴的交点，
∴点B的坐标为（0，2）．
∴点D的坐标为（0，4），
∵CD⊥y轴；
∴点C的纵坐标为4，即a=4，
∵点C在双曲线上，
∴将x=1，y=4，代入y=，得m=4，
∴双曲线的解析式为y=；

（2）∵点C（1，4）在直线y=kx+2上，
∴4=k+2，k=2，
∴直线AB的解析式为y=2x+2．

联立方程组：，解得经检验，是方程组的解，
故E（-2，-2）．