Question

一张矩形纸片OABC放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
（1）如图，将纸片沿CE对折，使点B落在x轴上的点D处，求D点的坐标；
（2）在（1）中，设BD与CE的交点为P，如果点B、P在抛物线y=x²+bx+c上，求b、c的值；
（3）如果将矩形纸片沿某直线l对折，使点B落在坐标轴上的点F处，且BF与l的交点Q恰好落在（2）的抛物线上．除了上述的点D外，这样的点F是否存在？如果存在，求出点F的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由对折可知BC=CD=5，运用勾股定理即可求得D点的坐标；
（2）由图形的对称性和梯形的中位线定理求得P点坐标，利用待定系数法求得解析式即可；
（3）利用（2）中的求法，假设点F分别落在x、y轴上，进一步利用图形的对称性表示出点的坐标代入函数解析式解决问题．
【解析】
（1）OD=，
所以点D的坐标为（3，0）；

（2）由折叠知，CE垂直平分BD，P是BD的中点，过点P作OA的平行线，交OC于点H，则PH是梯形ODBC的中位线，

∴，
即P（4，2）；
又∵点B（5，4）和点P（4，2）在抛物线y=x2+bx+c上，
∴，
解得b=-7，c=14；

（3）由（2）知，抛物线的解析式为y=x2-7x+14，
假设点F存在，
当点F在x轴上时，设F（m，0），
则BF与直线l的交点Q的为，
代入抛物线的解析式，解得：m=1或m=3，
即所求坐标为F（1，0）或F（3，0）（怒为点D）；
当点F在y轴上时，设F（0，n），则，
代入抛物线解析式，解得，
即所求坐标为．