Question

如图，正△ABC中，MN∥AC，=，D为AC上的一点，O为△BMN的外心，如果=，那么为    ．

Answer

连BO交MN于F，交AC于E；由△ABC为等边三角形，MN∥AC得△BMN为等边三角形，而O为△BMN的外心，根据等边三角形的性质得到BF⊥MN，且O为△BMN的内心，则BO：OF=2，易得BE⊥AC，BO：BF=2：3①；再利用平行线分线段成比例定理得BF：BE=MB：BA=3：5，利用比例性质得BF：BE=3：5②，由①②得BO：BE=2：5，则OE：BE=3：5，然后根据三角形的面积公式和S△OAD：△ABC=1：5即可计算出AD与AC的比．
【解析】
连BO交MN于F，交AC于E，如图，
∵△ABC为等边三角形，MN∥AC
∴△BMN为等边三角形，
而O为△BMN的外心，
∴BF⊥MN，BO：OF=2，
∴BE⊥AC，BO：BF=2：3①，
又∵MN∥AC，
∴BF：BE=MB：BA，
而MB：AM=3：2，即有BM：AB=3：5，
∴BF：BE=3：5②，
由①②得BO：BE=2：5，
∴OE：BE=3：5，
而S△OAD=AD•OE，S△ABC=AC•BE，
∵S△OAD：△ABC=1：5，
∴=，
∴=．
故答案为．