Question

△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b为关于x的方程  x²-（c+4）x+4c+8=0的二根．
（ 1）求证∠C=90°．
（2）若25asinA=9c，求a、b、c及△ABC的内切圆的面积．

Answer

（1）根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系，推出a，b，c的三边关系，从而根据勾股定理的逆定理可证．
（2）由三角函数的定义，结合已知，分析三边关系，再结合根与系数的关系可求得c，从而求出a，b，再根据三角形的面积公式求得内切圆的半径，从而求解．
【解析】
（1）∵a+b=c+4，
∴a2+b2+2ab=c2+8c+16，
∵ab=4c+8，
∴2ab=8c+16，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°；

（2）∵∠C=90°，
∴sinA=，
∵25asinA=9c，
∴25a2=9c2，
∴可设a=3k、c=5k，
∴b=4k，
∵a+b=c+4，
∴k=2
∴a=6、b=8、c=10
∴r==2，
∴s⊙=πr2=4π．