Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）若抛物线与x轴有两个交点，与y轴交于点（0，-4），求出这条抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）试说明对任何实数m，抛物线的顶点都在某一次函数的图象L上，并求出L的解析式；
（3）若（2）中直线L交x轴于点A，试在y轴求一点M，使|MC-MA|的值最大（C为（1）中抛物线的顶点）；
（4）若（1）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在该对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将（0，-4）代入二次函数解析式即可得出m的值，再利用二次函数图象与x轴交点个数判断方法得出m的取值范围，即可得出答案；
（2）由y=-（x-m）2-m+2 知顶点为（m，-m+2），分别取m=0，2得点（0，2）和（2，0）求出过这两点的直线解析式，利用当x=m时，y=-m+2，得出对任何实数m，抛物线的顶点都在一次函数的图象L上；
（3）根据A关于y轴对称的点D（-2，0），利用C为（1）中抛物线的顶点，求出直线CD的解析式，进而得出|NC-NA|=|NC-ND|＜CD=|MC-MA|，得出M点坐标；
（4）利用切线的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质求出即可．
【解析】
（1）∵抛物线与y轴交于点（0，-4），
∴将（0，-4）代入二次函数解析式得：
-m2-m+2=-4，
∴m2+m-6=0，
解得：m1=2，m2=-3，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=（2m）2-4（m2+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
∴抛物线的解析式为：
y=-x2-6x-4，
=-（x2+6x）-4，
=-（x+3） 2+5，
∴顶点（-3，5）；

（2）由y=-（x-m）2-m+2 知顶点为（m，-m+2）．
分别取m=0，2得点（0，2）和（2，0）过这两点的直线解析式为：设为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线解析式为：y=-x+2，
当x=m时，y=-m+2，
∴对任何实数m，抛物线的顶点都在某一次函数的图象L上，
L的解析式为：y=-x+2；

（3）A关于y轴对称的点D（-2，0），
∵C为（1）中抛物线的顶点，
∴设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y=-5x-10，
∴图象与y轴的交点（0，-10）即为所求的点M．
设N是y轴上异于M的一点，则△NDC中，
|NC-NA|=|NC-ND|＜CD=|MC-MA|．
∴M（0，-10）时，|MC-MA|的值最大；

（4）∵C点坐标为：（-3，5），A点坐标为：（2，0），B点坐标为：（-3，0），
∴AB=BC=5，∵∠CBA=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵当⊙P1与直线L相切与点Q1，连接Q1P1，
∴Q1P1⊥AC，
∴∠P1CQ1=∠CP1Q1=45°，
∴CQ1=Q1P1，
设P1的坐标为：（-3，y），
∴CP1=5-y，
P1Q1=CQ1=y，
∵=+，
∴（5-y）2=y2+y2，
整理得出；y2+10y-25=0，
解得：y1=5-5，y2=-5-5，
∴满足条件的点有两个，即（-3，5-5）和（-3，-5-5）（如图）．