Question

已知抛物线C：y=ax²+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．
（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；
（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA'的点P的坐标．

Answer

（1）先连接AB，根据A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，得出AO=AB，再根据∠AOB=60°，得出△ABO是等边三角形，再过A作AE⊥x轴于E，在Rt△OAE中，求出OD、AE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式；
（2）先过A作AE⊥OB于E，根据题意得出OE=OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C′关于原点对称，从而得出抛物线C′的解析式；
（3）先作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由（2）知，抛物线C′的顶点为A′（-2，-2），得出A′B的中点M的坐标，再作MH⊥x轴于H，得出△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，求出N点的坐标，再根据直线l过点M（1，-1）、N（，0），得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA'，从而得出P1，P2坐标，再根据抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，得出P3，P4的坐标，即可求出答案．
【解析】
（1）连接AB．
∵A点是抛物线C的顶点，且抛物线C交x轴于O、B，
∴AO=AB，
又∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
过A作AD⊥x轴于D，在Rt△OAD中，
∴OD=2，AD=，
∴顶点A的坐标为（2，）
设抛物线C的解析式为（a≠0），
将O（0，0）的坐标代入，
求得：a=，
∴抛物线C的解析式为．

（2）过A作AE⊥OB于E，
∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0），顶点为A，
∴OE=OB=2，
又∵直线OA的解析式为y=x，
∴AE=OE=2，
∴点A的坐标为（2，2），
将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，
∴a=，
∴抛物线C的解析式为，
又∵抛物线C、C′关于原点对称，
∴抛物线C′的解析式为；

（3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），
由前可知，抛物线C′的顶点为A′（-2，-2），
故A′B的中点M的坐标为（1，-1）．
作MH⊥x轴于H，
∴△MHN∽△BHM，则MH2=HN•HB，即12=（1-n）（4-1），
∴，即N点的坐标为（，0）．
∵直线l过点M（1，-1）、N（，0），
∴直线l的解析式为y=-3x+2，
，解得．
∴在抛物线C上存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为
P1（，），P2（，）；
解得，．
∴在抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为
P3（-5+，17-3），P4（-5-，17+3）．
∴点P的坐标是：P1（，），P2（，），P3（-5+，17-3），P4（-5-，17+3）．