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如图,已知CD是⊙O的直径,AC⊥CD,垂足为C,弦DE∥OA,直线AE、CD相...

如图,已知CD是⊙O的直径,AC⊥CD,垂足为C,弦DE∥OA,直线AE、CD相交于点B.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线.
(2)当AC=1,BE=2,求tan∠OAC的值.

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(1)连接OE,由已知的平行,根据两直线平行,同位角相等,内错角也相等得到两对角的相等,然后由半径OD=OE,根据等角对等边得到∠ODE=∠OED,等量代换得∠COA=∠EOA,再由半径OC=OE,公共边的相等,根据“SAS”证明△OAC≌△OAE,最后根据全等三角形的对应角相等得到OE⊥AB,利用经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线可得证; (2)由(1)证得的△OAC≌△OAE,根据全等三角形的对应边相等得到AE=AC=1,再由已知的BE的长相加求出AB的长,然后在直角三角形ABC中,利用勾股定理求出BC的长,再根据一对公共角的相等和一对直角的相等,得到△BOE∽△BAC,根据相似三角形的对应边成比例即可得到的值,等量代换可得的值,即为tan∠OAC的值. (1)证明:如图,连接OE, ∵DE∥OA, ∴∠COA=∠ODE,∠EOA=∠OED, ∵OD=OE, ∴∠ODE=∠OED, ∴∠COA=∠EOA, 又∵OC=OE,OA=OA, ∴△OAC≌△OAE, ∴∠OEA=∠OCA=90°, ∴OE⊥AB, ∴直线AB是⊙O的切线; (2)【解析】 由(1)知△OAC≌△OAE, ∴AE=AC=1,AB=1+2=3,在直角△ABC中,, ∵∠B=∠B,∠BCA=∠BEO, ∴△BOE∽△BAC, ∴, ∴在直角△AOC中,tan∠OAC=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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