Question

如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线．
（2）当AC=1，BE=2，求tan∠OAC的值．

Answer

（1）连接OE，由已知的平行，根据两直线平行，同位角相等，内错角也相等得到两对角的相等，然后由半径OD=OE，根据等角对等边得到∠ODE=∠OED，等量代换得∠COA=∠EOA，再由半径OC=OE，公共边的相等，根据“SAS”证明△OAC≌△OAE，最后根据全等三角形的对应角相等得到OE⊥AB，利用经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线可得证；
（2）由（1）证得的△OAC≌△OAE，根据全等三角形的对应边相等得到AE=AC=1，再由已知的BE的长相加求出AB的长，然后在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，再根据一对公共角的相等和一对直角的相等，得到△BOE∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到的值，等量代换可得的值，即为tan∠OAC的值．
（1）证明：如图，连接OE，
∵DE∥OA，
∴∠COA=∠ODE，∠EOA=∠OED，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠COA=∠EOA，
又∵OC=OE，OA=OA，
∴△OAC≌△OAE，
∴∠OEA=∠OCA=90°，
∴OE⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；

（2）【解析】
由（1）知△OAC≌△OAE，
∴AE=AC=1，AB=1+2=3，在直角△ABC中，，
∵∠B=∠B，∠BCA=∠BEO，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
∴在直角△AOC中，tan∠OAC=．