Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠B=90°，∠C=60°，AD=CD，点E在射线BC上，将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与射线CD交于点M．
（1）当点M在CD边上时（如图a），求证：FM一DM=
（2）当点E在BC边的延长线上时（如图b），线段FM、DM、AB的数量关系______

Answer

（1）利用过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AG，AM，进而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案；
（2）首先连接AM，AC，作AG⊥MC于点G，进而利用HL定理得出Rt△AMG≌Rt△AMF，即可得出答案；
（3）首先利用勾股定理得出BE与CE的长，进而利用利用相似三角形的判定得出△AGN∽△ACE，即可得出GN的长．
【解析】
（1）过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AG，AM
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=，
∴FM-DM=AB；

（2）连接AM，AC，作AG⊥MC于点G，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AB⊥BC，AG⊥MC，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM-DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=，
∴DM-FM=AB，
故答案为：DM-FM=AB；

（3）连接AC，过点M作MH⊥BC于H，过点D作DK⊥BC于K，
∵AD=6，FM=1，
∴KC=3，DK=3，AB=3，BC=9，
又∵（2）知：DM-FM=AB，
∴DM=×3+1=4，
∴MC=10，HC=5，MH=5，BH=4，
设BE=x，则FE=x，ME=x-1，HE=x-4，
∵MH2+HE2=ME2，
∴（5）2+（x-4）2=（x-1）2，
  解得：x=15，
∴BE=15，CE=6，
∵∠BCG=60°，
∴∠ECG=120°，
由（1）知Rt△AMG≌Rt△AMF，∠BCA=∠ACG=30°，
∴∠MAG=∠MAF，设∠BAE=m°，∠FAM=n°，则∠BAF=m°，∠GAF=2n°，
∴2m-2n=120°，m-n=60°，
∴∠EAM=60°，
又∵∠CAG=60°，
∴∠GAN=∠CAE，
∵∠AGN=∠ACE=150°，
∴△AGN∽△ACE，
∵AG=AC，
∴，
∴GN=CE=3．