Question

如图，抛物线y=x²+bx+c经过A（-，0）、B（0，-3）两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）连接BC，求证：BC=CD．

Answer

（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得b，c的值，即可得解析式；
（2）利用公式：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-，顶点坐标为（-，）即可求解；
（3）如图可知点B是抛物线与y轴的交点，即可求得BC的长，点D是直线AB与对称轴的交点，求得直线AB的解析式即可求得D的坐标，则可求得CD的长，则可证得结果．
（1）【解析】
∵抛物线y=x2+bx+c
经过A（-，0）、B（0，-3）两点
∴
解得
∴此抛物线的解析式为．

（2）【解析】
由（1）可得此抛物线的对称轴l为，
顶点C的坐标为（，-4）．

（3）证明：∵过A、B两点的直线解析式为
∴当时，y=-6
∴点D的纵坐标为-6
∴CD=|-6|-|-4|=2
作BE⊥l于点E，则
∴CE=4-3=1
由勾股定理得
∴BC=DC．