Question

如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．
根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；
（2）当t=4时，求S的值；
（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；
（4）若S=12，则t=______．

Answer

（1）证明△BCD∽△BOA，利用线段比求出t值．
（2）当t=4时，点E与A重合，证明△CBF∽△OBA求出CF．
（3）根据t的取值范围求出S的值．
【解析】
（1）由题意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，
∴△BCD∽△BOA，
∴
而，
则，
解得，
∴当点D在直线AB上时，．（2分）

（2）当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F，
则由△CBF∽△OBA得，
即，
解得CF=3，
∴．（3分）

（3）①当时，（1分）
②当时，（1分）
③当4＜t≤16时，（1分）
分析：①当时，如图（1），
②当时，如图（2），
∵A（4，0），B（0，8），∴直线AB的解析式为y=-2x+8，
∴，
∴，
∴=
③当4＜t≤16时，如图（3）
∵CD∥OA，∴△BCF∽△BOA，∴，∴，∴，
∴

（4）8（2分）
分析：由题意可知把S=12代入中，，
整理，得t2-32t+192=0，
解得t1=8，t2=24＞16（舍去），
∴当S=12时，t=8．