Question

如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点F是AD的中点，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接BE，DE，AC．
（1）求证：△EAB≌△EFD；
（2）求的值．

Answer

（1）有等腰直角三角形的性质可得：EA=FE，∠EAF=∠EFA=45，再由已知条件证明△EAB≌△EFD即可；
（2）连接BD，有旋转的性质可得EB=ED，且∠BED=90°，再有矩形的性质即可求出的比值．
（1）证明：∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠EFA=45°，EA=EF，
又∵∠BAD=90°，∠EFD+∠EFA=180°，
∴∠EAB=∠EFD=135°，
又∵AD=2AB，FD=AD，
∴AB=FD，
∴△EAB≌△EFD；

（2）【解析】
如图，连接BD．
∵∠AEF=90°，
∴△EFD可由△EAB绕点E逆时针旋转90°得到，
∴EB=ED，且∠BED=90°．
∴△BED也是等腰直角三角形．
∴BD=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD．
∴=．