Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）求sin∠EOB的值；
（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．

Answer

（1）连接AE，BC，由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再根据对顶角相等，利用两对应角相等的两三角形相似，得到三角形AEM与三角形CBM相似，由相似得比例，化简后即可得证；
（2）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长，再由相交弦定理求出EM的长，根据所求EM的长与半径相等判断出△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF，EF的长，进而求出sin∠EOB的值；
（3）由EO=EM，EF垂直于OM，得到F为OM的中点，由M为OB中点，求出OM的长，可得出OF的长，由OB+BP=OP，得出OP的长，利用OP-OF求出FP的长，再由EF的长，利用勾股定理求出EP的长，在三角形OEP中，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形OEP为直角三角形，可得∠OEP为直角，即EP垂直于OE，可得EP为圆O的切线．

【解析】
（1）连接AE，BC，
∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角，
∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），
∴△AME∽△CMB，
∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；
（2）如图，∵DC为⊙O的直径，
∴DE⊥EC，
∵DC=8，DE=，
∴EC===7，
设EM=x，由于M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），
整理得：x2-7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
∵EM＞MC，∴EM=4，
∵OE=EM=4，
∴△OEM为等腰三角形，
过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1，
∴EF===，
∴sin∠EOB=；
（3）在Rt△EFP中，EF=，PF=FB+BP=3+12=15，
根据勾股定理得：EP===4，
又OE=4，OP=OB+BP=4+12=16，
∴OE2+EP2=16+240=256，OP2=256，
∴OE2+EP2=OP2，
∴∠OEP=90°，
则EP为圆O的切线．