Question

如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是（ ）
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；
②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
③弧AC=弧BC；
④∠BAC=30°．

A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③

Answer

首先由垂径定理确定③正确，再由在⊙O中，OA=AB，确定△OAB是等边三角形，即可得到∠AOB=60°，得到①正确，又由垂径定理，求得∠AOC=30°，得到②正确，根据同弧所对圆周角等于其对圆心角的一半，即可求得∠BAC=15°，则问题得解．
【解析】
∵在⊙O中，OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，故③正确；
∠AOC=∠BOC=∠AOB，
∵OA=OB，OA=AB，
∴OA=OB=AB，
∴∠AOB=60°，
∴弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，故①正确；
∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，
∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故②正确；
∴∠BAC=∠BOC=15°，故④错误．
∴结论正确的有①②③．
故选D．