Question

把边长为1的正方形纸片沿对角线剪开，得△ABC和△DEF．然后，将△DEF的顶点D置于△ABC斜边中点处，使△DEF绕点D沿顺时针旋转．
（1）当△DEF旋转到DF过直角顶点C时（如图1）此时DF与AC的交点H与点C重合，试判断∠DGB与∠DGH的关系，并给以证明；
（2）当△DEF继续旋转的角度为α（0＜α＜45°）（如图2）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）∠DGB=∠DGH，△ABC中，可以得到△ACD和△BCD都是等腰直角三角形，再根据三线合一定理与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以得出结论．
（2）（1）中的结论仍然成立，可以证明△DBI≌△DCH，进而证明△DGH≌△DGI．
证明：（1）∠DGB=∠DGH．
在等腰Rt△ABC中，D是AB中点，
∴HD⊥AB，
∴DH=AB=DB．
∵∠FDG=45°=∠BDG，
∴DG⊥HB，
因此∠DGB=∠DGH．

（2）（1）中的结论仍然成立．∠DGB=∠DGH．
连接DC，在BC上截取BI=CH，连接DI．
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH=45°，DB=DC，
∴△DBI≌△DCH，
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB，
∴∠HDI=∠CDB=90°，
∵∠FDE=45°=∠GDI，DG公共，
∴△DGH≌△DGI，
∴∠DGB=∠DGH．