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如图,在矩形ABCD中,B(16,12),E、F分别是OC、BC上的动点,EC+...

如图,在矩形ABCD中,B(16,12),E、F分别是OC、BC上的动点,EC+CF=8.
(1)当∠AFB=60°时,△ABF沿着直线AF折叠,折叠后,落在平面内G点处,求G点的坐标.
(2)当F运动到什么位置时,△AEF的面积最小,最小为多少?
(3)当△AEF的面积最小时,直线EF与y轴相交于点M,P点在x轴上,⊙P与直线EF相切于点M,求P点的坐标.

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(1)首先过点G分别作GN⊥x轴于点N,作GH⊥y于点H,得出AH=AGsin60°以及GH=AG分别求出即可. (2)此题只需设得CF的长为x,F在BC上运动,0≤x≤8,又EC+CF=8,则EC=8-x;再由面积切割法表示出△AEF的面积关于x的函数并求得最值即可. (3)首先求出直线EF的解析式,即可得出M的坐标,进而得出△MOE∽△POM,即可得出OP的长,得出P点坐标即可. 【解析】 (1)如图,过点G分别作GN⊥x轴于点N,作GH⊥y于点H, 如图△ABF沿直线AF折叠后得△AGF, 则△AGF≌△ABF, 因为∠AFB=∠AFG=60°, 所以∠BAF=∠FAG=∠OAG=30° 在直角三角形AGH中,GH=AG=×AB=×16=8, AH=AGsin60°=16×=8 即OH=8-12, 因此G(8,12-8). (2)在矩形ABCD中,B(16,12),EC+CF=8; 则AB=OC=16,BC=OA=12; 设CF=x,则EC=8-x; S△AEF=S□ABCO-S△AOE-S△ABF-S△ECF=OA×OC-×OE×OA-×AB×BF-×CE×CF, =12×16-×[16-(8-x)]×12-×16×(12-x)-×x×(8-x), =x2-2x+48, =(x-2)2+46; 因此,当x=2时,S△AEF取得最小值46. 故当F运动到CF为2时,△AEF的面积最小,最小为46. (3)由(2)得F(16,2),E(10,0), 设直线EF:y=kx+b, ∴, ∴, ∴y=x-, ∴M(0,-), 连接PM, ∵⊙P与直线EF相切于点M, ∴PM⊥ME, ∴∠PMO+∠OME=90°, ∠MPO+∠PMO=90°, ∴∠MPO=∠OME, ∵∠POM=∠MOE=90°, ∴△MOE∽△POM, ∴=, ∴OM2=OP•OE, ∴OP=, ∴P点的坐标为:P(-,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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