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已知:如图所示,抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B...

已知:如图所示,抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P在该抛物线上滑动,且满足条件S△PAB=1的点P有几个?并求出所有点P的坐标;
(3)设抛物线交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)将A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+bx+c中,列方程组可求抛物线解析式; (2)由于AB=3-1=2,而S△PAB=1,故△PAB中,AB边上的高为1,即P点纵坐标为±1,代入抛物线解析式可求P点横坐标; (3)过点C作抛物线的对称轴的对称点C',根据抛物线的对称性求得C′(4,-3),连接直线AC′,求直线AC′的解析式,直线AC′与对称轴的交点即为所求点M. 【解析】 (1)依题意有, ∴b=4,c=-3, ∴抛物线解析式为y=-x2+4x-3; (2)如图,设P(x,y) ∵AB=2,S△PAB=1 ∴×2×|y|=1 ∴y=±1 当y=1时,x1=x2=2, 当y=-1时,x=2±, ∴满足条件的点P有三个坐标分别为(2,1),(2+,-1),(2-,-1); (3)存在. 过点C作抛物线的对称轴的对称点C', ∵点C(0,-3),对称轴为x=2, ∴C′(4,-3), 设直线AC′的解析式为y=kx+b, 则, ∴k=-1,b=1, ∴直线AC′的解析式为y=-x+1, 直线AC′与对称轴x=2的交点为(2,-1),即M(2,-1), ∴存在点M(2,-1),可使△AMC的周长最小.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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