Question

使得m²+m+7是完全平方数的所有整数m的积是    ．

Answer

将m2+m+7表示为k2的形式，然后转化可得出（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27，从而讨论可得出m的值，从而得到所有整数m的积．
【解析】
设m2+m+7=k2，
所以m2+m++=k2，
所以（m+）2+=k2，
所以 （m+）2-k2=-，
所以（m++k）（m+-k）=-，
所以（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27
因为k≥0（因为k2为完全平方数），且m与k都为整数，
所以①2m+2k+1=27，2m-2k+1=-1，解得：m=6，k=7；
②2m+2k+1=9，2m-2k+1=-3，解得：m=1，k=3；
③2m+2k+1=3，2m-2k+1=-9，解得：m=-2，k=3；
④2m+2k+1=1，2m-2k+1=-27，解得：m=-7，k=7．
所以所有m的积为6×1×（-2）×（-7）=84．
故答案为：84．