Question

已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．

Answer

利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．
【解析】
∵DE是圆O的切线，
∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．
∴△ADE∽△DCE
∴
∴DE2=AE•EC
∴DE2=（AC+EC）EC
∵DE+EC=6
∴DE=6-EC
∴（6-EC）2=AC•EC+EC2
∵∠CBD=∠DAC，
∴∠CDE=∠DAC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠CDE=∠BCD．
∴BC∥DE．
∴△ABD∽△DCE，
∴
∴AB•EC=18
∵AB：AC=3：2
设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有

解得：
∴AB=9，AC=6，EC=2
∴DE=4
∵BC∥DE．
∴△AFC∽△ADE
∴=
∴
∴FC=3
可以证明△DFC∽△BFA
∴
∴
FA=
∴
∴AD=6
∴DF=
∵DF•AF=BF•FC
∴
∴BF=
∴BC==．
故BC的长为．