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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2mx+n经过P(,5),A(0,2...

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2manfen5.com 满分网mx+n经过P(manfen5.com 满分网,5),A(0,2)两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为B,将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l,直线l与抛物线的对称轴交于C点,求直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,求到直线OB,OC,BC距离相等的点的坐标.

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(1)把P,A坐标代入抛物线解析式即可. (2)先设出平移后的直线l的解析式,然后根据(1)的抛物线的解析式求出C点的坐标,然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式. (3)本题关键是找出所求点的位置,根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等,因此这类点应该有4个,均在△OBC的内角平分线上(△OBC外有3个,三条角平分线的交点是一个),可据此来求此点的坐标. 【解析】 (1)根据题意得, 解得, 所以抛物线的解析式为:. (2)由得抛物线的顶点坐标为B(,1), 依题意,可得C(,-1),且直线过原点, 设直线的解析式为y=kx,则, 解得, 所以直线l的解析式为. (3)到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个,如图, 由勾股定理得OB=OC=BC=2,所以△OBC为等边三角形. 易证x轴所在的直线平分∠BOC,y轴是△OBC的一个外角的平分线, 作∠BCO的平分线,交x轴于M1点,交y轴于M2点, 作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线,交y轴于M3点, 反向延长线交x轴于M4点,可得点M1,M2,M3,M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点. 可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形,可求得: ①OM1==×2=,所以点M1的坐标为(,0). ②点M2与点A重合,所以点M2的坐标为(0,2), ③点M3与点A关于x轴对称,所以点M3的坐标为(0,-2), ④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N, M4N=,且ON=M4N, 所以点M4的坐标为(,0) 综合所述,到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为: M1(,0)、M2(0,2)、M3(0,-2)、M4(,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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