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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(...

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标.

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(1)根据抛物线的对称轴可求出B点的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)由于A、B关于抛物线的对称轴直线对称,若连接BC,那么BC与直线x=1的交点即为所求的点M;可先求出直线BC的解析式,联立抛物线对称轴方程即可求得M点的坐标; (3)若∠PCB=90°,根据△BCO为等腰直角三角形,可推出△CDP为等腰直角三角形,根据线段长度求P点坐标. 【解析】 (1)∵抛物线的对称轴为x=1,且A(-1,0), ∴B(3,0); 可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),由于抛物线经过C(0,-3), 则有:a(0+1)(0-3)=-3,a=1; ∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3; (2)由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称, 那么M点为直线BC与x=1的交点; 由于直线BC经过C(0,-3),可设其解析式为y=kx-3, 则有:3k-3=0,k=1; ∴直线BC的解析式为y=x-3; 当x=1时,y=x-3=-2, 即M(1,-2); (3)设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l,作PD⊥y轴,垂足为D; ∵OB=OC=3, ∴CD=DP=1,OD=OC+CD=4, ∴P(1,-4).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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