Question

二次函数y=x²的图象如图所示，点A位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈在二次函数y=x²第一象限的图象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈都为等边三角形，请计算△AB₁A₁的边长=    ；△A₁B₂A₂的边长=    ；△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长=    ．

Answer

先计算出△AB1A1；△A1B2A2；△A2B3A2的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A2007B2008A2008的边长．
【解析】
作B1A⊥y轴于A，B2B⊥y轴于B，B3C⊥y轴于C．
设等边△AB1A1、△A1B2A2、△A2B3A3中，AA1=a，BA2=b，CA2=c．
①等边△AB1A1中，AA=a，
所以B1A=atan60°=a，代入解析式得×（a）2=a，解得a=0（舍去）或a=，于是等边△AB1A1的边长为×2=1；
②等边△A2B2A1中，A1B=b，
所以BB2=btan60°=b，B2点坐标为（b，1+b）代入解析式得×（b）2=1+b，
解得b=-（舍去）或b=1，
于是等边△A2B1A1的边长为1×2=2；
③等边△A2B3A3中，A2C=c，
所以CB3=btan60°=c，B3点坐标为（c，3+c）代入解析式得×（c）2=3+c，
解得c=-1（舍去）或c=，
于是等边△A3B3A2的边长为×2=3．
于是△A2007B2008A2008的边长为2008．